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新智元報(bào)道

編輯：小桃

【新智元導(dǎo)讀】o3-mini在圖論領(lǐng)域中展現(xiàn)出了突破性表現(xiàn)，甚至得到了數(shù)學(xué)界頂尖專家的高度認(rèn)可。經(jīng)過實(shí)測(cè)后，他總結(jié)指出，大語言模型（LLM）并非萬能工具，其價(jià)值取決于解決問題的性質(zhì)以及對(duì)AI的調(diào)教方式。

令人驚嘆的是，o3-mini竟然能夠以極快的速度秒解如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，展現(xiàn)了令人難以置信的效率和精準(zhǔn)度。

今天，陶哲軒在社交平臺(tái)再次分享了自己用AI輔助數(shù)學(xué)證明的經(jīng)典案例和心得體會(huì)。

他以圖論領(lǐng)域中一個(gè)對(duì)專家來說標(biāo)準(zhǔn)但又具有挑戰(zhàn)性的結(jié)論為例，具體說明了AI輔助證明的可能性與挑戰(zhàn)。

這個(gè)結(jié)論是基于Ruzsa-Szemeredi的「三角移除引理」（Triangle Removal Lemma）提出的，目標(biāo)是證明：一個(gè)由n個(gè)頂點(diǎn)、n個(gè)誘導(dǎo)匹配構(gòu)成的圖，其邊數(shù)僅為o(n2)。

要證明這個(gè)定理，有三種主要選擇：一是手動(dòng)推導(dǎo)；二是通過網(wǎng)絡(luò)搜索獲取答案；三是借助大模型。

在此，陶哲軒選擇了第三種方式，讓AI系統(tǒng)來完成這項(xiàng)任務(wù)。

令人驚嘆的是，o3-mini竟然能夠以極快的速度秒解如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，展現(xiàn)了令人難以置信的效率和精準(zhǔn)度。

那么，o3-mini又是如何做到的呢？

ChatGPT僅用不到一分鐘的時(shí)間就給出了圖論難題的解答。

陶哲軒立即對(duì)o3-mini提出了疑問：

Ruzsa-Szemerédi三角形移除引理指出，當(dāng)一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的圖（n很大時(shí)）僅包含o(n3)個(gè)三角形時(shí)，通過移除o(n2)條邊，可以將其轉(zhuǎn)變?yōu)闊o三角形圖。這一引理實(shí)際上隱含了這樣一個(gè)結(jié)論：如果一個(gè)n頂點(diǎn)的圖可以表示為n個(gè)誘導(dǎo)匹配（induced matching）的并集，則其總邊數(shù)僅為o(n2)。你知道如何從前一個(gè)結(jié)論推導(dǎo)出后者嗎？

經(jīng)過不到30秒的思考，o3-mini迅速給出了關(guān)鍵的證明思路——

該思路是通過在輔助圖中將這些誘導(dǎo)匹配的邊“編碼”為三角形，然后再運(yùn)用三角形移除引理。

大致的思路是首先構(gòu)造一個(gè)三部圖，將誘導(dǎo)匹配的并集轉(zhuǎn)化為輔助圖中的邊關(guān)系，然后通過關(guān)聯(lián)邊數(shù)與三角形數(shù)，最后應(yīng)用三角形移除引理。

這一解答讓陶哲軒十分滿意。

「AI能夠滿足我的即時(shí)需求，這表明LLM在快速提供某一領(lǐng)域內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)論證的細(xì)節(jié)方面確實(shí)表現(xiàn)出色，用戶可以隨后驗(yàn)證其正確性」。

接著，他進(jìn)一步詢問模型關(guān)于Ruzsa-Szemerédi (6,3)定理的另一標(biāo)準(zhǔn)推論——

該定理聚焦于三元均勻超圖，其在特定禁止配置下的規(guī)模特征得到了研究。

本次模型的表現(xiàn)雖令人滿意，但仍有提升空間。

初期的回答雖抓住了用超圖編碼一個(gè)圖的總體思路，但缺乏關(guān)鍵細(xì)節(jié)的全面闡述。

當(dāng)陶哲軒進(jìn)一步追問時(shí)，他沒有提及兩個(gè)最重要的思路。

在多次提示和明確引導(dǎo)的基礎(chǔ)上，o3-mini逐步補(bǔ)全了思路，最終給出了一個(gè)基本正確的推導(dǎo)證明。

陶哲軒表示，之所以能夠給出提示，也是因?yàn)樗孪韧ㄟ^網(wǎng)絡(luò)搜索查閱了相關(guān)證明。

如下所示，為了獲得詳細(xì)的證明過程，需要更明確的提示。

個(gè)人感想

通過此次實(shí)踐，陶哲軒對(duì)LLM在數(shù)學(xué)研究中的能力有了更深刻的體會(huì)。

他表示，對(duì)于那些標(biāo)準(zhǔn)教科書級(jí)別的問題，模型的表現(xiàn)幾乎完美，幾乎無需干預(yù)。

這些答案可以從維基百科、Stack Overflow等現(xiàn)有資源中獲取。

當(dāng)問題轉(zhuǎn)向研究級(jí)別或較少被討論的領(lǐng)域時(shí)，模型的準(zhǔn)確率顯著下降。

他將LLM的能力歸納為兩種狀態(tài)：

一種是在寬泛指導(dǎo)下的情況下仍能提供有價(jià)值的幫助；另一種則需要用戶進(jìn)行詳細(xì)引導(dǎo)甚至依賴更高計(jì)算資源才能逐步完善答案。

最強(qiáng)大的模型或許更傾向于前者，但總體而言，隨著問題復(fù)雜度和難度的增加，LLM的表現(xiàn)逐漸減弱。

AI輔助數(shù)學(xué)研究已提前進(jìn)入新階段。

在評(píng)論區(qū)，網(wǎng)友們熱烈討論，有人質(zhì)疑道，「盡管網(wǎng)絡(luò)搜索的質(zhì)量有所下降，但它仍比AI工具在最好和最壞的情況下都能提供準(zhǔn)確的結(jié)果。那這種工具還有什么存在的意義呢？」？

他表示，自己唯一能想到使用這種工具的原因，便是利用它來獲取新奇的想法。

陶哲軒解釋道，「目前，我認(rèn)為L(zhǎng)LM查詢?cè)谧罴亚闆r下比網(wǎng)頁搜索更優(yōu)，因?yàn)槠漤憫?yīng)速度更快且更精準(zhǔn)；相比傳統(tǒng)方法需要自行構(gòu)造搜索查詢、篩選多個(gè)結(jié)果并判斷價(jià)值，再將最佳答案轉(zhuǎn)化為符號(hào)和上下文、撰寫提示并閱讀LLM的回應(yīng)，所需的腦力負(fù)擔(dān)更小。然而，在最壞情況下，LLM查詢可能比傳統(tǒng)搜索更費(fèi)心力」。

因此，目前這兩種方法在實(shí)用性上大致相當(dāng)，至少對(duì)于查找較為知名的技術(shù)性論證而言。

理想解決方案似乎是結(jié)合LLM和傳統(tǒng)方法的混合方案，即先通過LLM提問，但若其回答無法立即令人滿意，就轉(zhuǎn)而采用其他方法（如網(wǎng)頁搜索），或利用網(wǎng)頁搜索提供的線索進(jìn)一步向LLM提問。

這位網(wǎng)友再次提問，「即使在理想情況下，用戶仍需具備足夠的知識(shí)來判斷提供的解決方案是否正確且可信。在生成式AI（GenAI）出現(xiàn)之前，這并不是一個(gè)問題。提升網(wǎng)頁搜索的可用性或許會(huì)更加有用?！笰I技術(shù)可能會(huì)改進(jìn)，但我仍然持悲觀態(tài)度。在我看來，當(dāng)前的AI產(chǎn)品總體上弊大于利，我們可能永遠(yuǎn)無法完全恢復(fù)。

陶哲軒表示，事實(shí)上，我認(rèn)為互聯(lián)網(wǎng)（尤其是社交媒體）上不可靠信息的泛濫早于生成式AI的興起，盡管AI機(jī)器人和「深度偽造」圖像確實(shí)加劇了這一問題。

無論是否有生成式AI，獨(dú)立驗(yàn)證信息的能力正變得愈發(fā)重要。（需要注意的是，即使沒有AI介入，人類創(chuàng)作的數(shù)學(xué)也可能包含錯(cuò)誤，來自互聯(lián)網(wǎng)的隨機(jī)證明仍然需要人工驗(yàn)證。）

然而，在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這個(gè)問題或許有一個(gè)潛在的解決方案，即要求生成式AI通過形式化證明助手來驗(yàn)證其輸出，以確保正確性。

目前，這方面的實(shí)驗(yàn)僅能解決低階本科水平的問題（例如計(jì)算定積分），尚不清楚LLM生成的數(shù)學(xué)答案中涉及的高階概念是否可以通過這種形式語言捕捉。

陶哲軒認(rèn)為，要求LLM至少形式化驗(yàn)證其部分細(xì)節(jié)，能夠顯著提高其整體可靠性。（類似的現(xiàn)象已在LLM處理數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽類型問題時(shí)被觀察到——相比于直接生成答案，模型若采用更可靠的語言（如 Python）編寫代碼來求解問題，通常能顯著優(yōu)于純LLM方法。）

理想情況下，人類創(chuàng)作的數(shù)學(xué)也應(yīng)當(dāng)越來越多地采用形式驗(yàn)證；但我預(yù)計(jì)AI生成或AI輔助的數(shù)學(xué)研究會(huì)提前實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。

當(dāng)然，評(píng)論區(qū)也有質(zhì)疑大模型推理能力的網(wǎng)友，認(rèn)為L(zhǎng)LM并非是推理模型，而是隨機(jī)文本生成器。

參考資料：

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